📐 Геометрия · 7 класс · интерактивный лист

Смежные и вертикальные углы

∠
СМОТРИ · СРАВНИВАЙ · РЕШАЙ
Научись видеть связи между углами. Разбери свойства на чертежах, проверь себя на хитрых вопросах и переходи к задачам по уровням сложности.
5 шагов теории 10 вопросов по теории 12 практических задач Автопроверка и сохранение прогресса
Общий прогресс
0%
Теория
0 / 5
Практика
0 / 12

Теория

Просмотри все пять шагов. После этого откроется вкладка с вопросами по теории.

Что такое вертикальные углы?

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
1 1 2 2

На рисунке два угла с номером 1 — вертикальные. Два угла с номером 2 — тоже вертикальные.

Важно: вертикальные углы не имеют общей стороны — они расположены напротив.

Главное свойство вертикальных углов

Если углы вертикальные, то они равны.

∠1 = ∠2
58° 58°

Если один вертикальный угол равен 58°, то и второй вертикальный угол тоже 58°.

Это свойство часто помогает сразу находить неизвестный угол без уравнений.

Что такое смежные углы?

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными.
α β общая сторона

Смежные углы «стоят рядом» и вместе образуют развёрнутый угол.

Главное свойство смежных углов

Сумма смежных углов всегда равна 180°.

∠1 + ∠2 = 180°

Если один смежный угол равен 67°, то второй равен:

180° − 67° = 113°
Если один из смежных углов острый, то второй обязательно тупой.

Как различать и решать задачи

  • Если углы лежат напротив при пересечении двух прямых — это вертикальные углы, и они равны.
  • Если углы имеют общую сторону и образуют прямую — это смежные углы, их сумма 180°.
  • В задачах с буквами удобно составлять уравнение.
Алгоритм:
1) определить вид углов;
2) записать равенство или сумму 180°;
3) решить уравнение;
4) найти требуемый угол;
5) сделать проверку.
Частая ошибка: если сумма двух углов 180°, это ещё не значит, что они смежные. Нужно смотреть и на рисунок, и на расположение сторон.

Проверка теории

Здесь есть и прямые вопросы, и «ловушки» на обратные утверждения: важно не только помнить свойства, но и понимать, когда они работают.

1

Вставь пропуски

Вертикальные углы лежат друг .

2

Вставь пропуски

У смежных углов одна сторона , а две другие являются одна другой.

3

Ловушка: обратное утверждение

Если два угла равны, то они обязательно вертикальные.

4

Ещё одна ловушка

Если сумма двух углов равна 180°, то они обязательно смежные.

5

Свойство или обратное?

Если углы вертикальные, то они равны.

6

Можно ли так?

Могут ли два угла одновременно быть вертикальными и смежными?

7

Впиши число

Если один вертикальный угол равен 38°, то второй вертикальный угол равен °.

8

Подумай о равных смежных углах

Если два смежных угла равны, то каждый из них равен 90°.

9

Пересечение прямых

Две прямые пересекаются. Один из образовавшихся углов равен 90°. Что можно утверждать об остальных трёх?

10

Достаточно ли данных?

Два угла имеют общую вершину и равны по 50°. Можно ли только по этим данным утверждать, что они вертикальные?

Верно выполнено: 0 / 10. Здесь важнее не скорость, а точность рассуждений.
Практика доступна независимо от прохождения теории.

Практика

Задачи идут по нарастанию сложности. В заданиях с неизвестным готовое уравнение не дано: его нужно составить самостоятельно. Для записи можно открыть черновик внутри карточки.

1

Найди смежный угол

Один из смежных углов равен 111°. Найди второй угол.

2

Вертикальная пара

47° x

Угол x вертикален углу 47°. Найди x.

3

Определи вид угла

Один из двух смежных углов равен 136°. Каким является второй угол?

4

Вопрос на понимание

Могут ли два смежных угла быть равными?

Верно на уровне 1: 0 / 4. Для открытия следующего уровня нужно 3.
5

Один угол больше другого

Один из смежных углов на 36° больше другого. Найди оба угла.

черновик
6

Известна разность

Разность двух смежных углов равна 44°. Найди эти углы.

черновик
7

В несколько раз больше

Один из смежных углов в 4 раза больше другого. Найди оба угла.

черновик
8

Вертикальные углы с выражениями

Величины двух вертикальных углов равны (3x + 12)° и (5x − 20)°. Найди x и величину этих углов.

черновик
Верно на уровне 2: 0 / 4. Для открытия следующего уровня нужно 3.
9

Сумма трёх углов

Две прямые пересекаются. Сумма трёх из четырёх образовавшихся углов равна 248°. Найди меньший из четырёх углов.

черновик
10

Отношение смежных углов

Смежные углы относятся как 2 : 7. Найди оба угла.

черновик
11

Сколько решений у рисунка?

Даны лучи OA, OB и OC. Известно, что ∠AOB = 42°, а ∠BOC = 67°. Найди все возможные значения ∠AOC.

Рассмотри разные варианты расположения лучей OA и OC относительно луча OB.
черновик
12

Биссектрисы смежных углов

Какой угол образуют биссектрисы двух смежных углов?

Подумай: если смежные углы равны α и β, то α + β = 180°. Что получится после деления каждого угла пополам?

Верно на уровне 3: 0 / 4.

🎉 Практика пройдена

Ты применил свойства смежных и вертикальных углов в задачах разных типов.

Итог по практике: 0 из 12.